ACGN作品中的數學要素列表
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在不少ACGN作品（尤其是校園相關題材的作品）中，有時會出現與數學相關的要素。本條目旨在以列表方式，收集並記錄這類數學要素。
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列表概覽
下表概括了目前頁面中含有的內容：
| 番劇年份 | 番劇名 | 集數 | 數學知識點 | 備註 |
|---|---|---|---|---|
| 2011 | 魔法少女小圓 | 第1、10集 | 中學代數/數論 | - |
| 2014 | 寄生獸 | 第3集 | 中學代數 | - |
| 2015 | 暗殺教室 | 第2季第12集 | 立體幾何/晶體學 | - |
| 2017 | One Room | 第1季第2集、第3季第8集 | 中學代數/幾何/概率 | - |
| 2018 | 寄宿學校的朱麗葉 | 第3、4集 | 代數 | - |
| 2018 | Slow Start | 第6集 | 微積分 | - |
| 2018 | 莉茲與青鳥 | N/A | 數論 | - |
| 2018 | DARLING in the FRANXX | 第13集 | 中學代數/數論 | - |
| 2021 | 黃金拼圖 Thank you!! | N/A | 平面幾何 | - |
| 2023 | 別當歐尼醬了！ | 第7集 | 中學代數/幾何 | - |
| 2009 | 輕音少女 | 第1季第3集 | 因式分解 | - |
| 2010 | 笨蛋、測驗、召喚獸 | 第1季第1集，後續尚未考證 | - | - |
| 2014 | 一周的朋友。 | 第1集等 | 三角函數 | - |
| 2020 | 理科生墜入情網，故嘗試證明。 | 全集 | 什麼都有 | - |
| 2022 | 歡迎來到實力至上主義的教室 | 第2季第9集 | 中學代數/概率 | - |
| 2004 | GANTZ | 第1集 | - | - |
| 2006 | 櫻蘭高校男公關部 | - | - | - |
| 2006 | 穿越時空的少女 | N/A | - | - |
| 2010 | 聖誕之吻 | - | - | - |
| 2011 | 偶像大師 | 第1集 | - | - |
| 2011 | 日常 | 第3集 | - | - |
| 2012 | 冰菓 | - | - | - |
| 2012 | 鄰座的怪同學 | - | - | - |
| 2013 | 魔法少女伊莉雅 | - | - | - |
| 2013 | Lovelive! | - | 因式分解、實數等 | 遊戲中東條希的卡牌「一直都這樣下去……」背景中亦有出現數學要素 |
| 2015 | 關於我被綁架到大小姐學校當庶民樣本這件事 | - | - | - |
| 2016 | 時間旅行少女 | 第1集等 | - | - |
| 2017 | 徒然喜歡你 | - | - | - |
| 2017 | 珈百璃的墮落 | 第12集 | - | - |
| 2018 | 終將成為妳 | 第5集 | 因式分解 | - |
| 2018 | 擅長捉弄人的高木同學 | - | - | - |
| 2018 | 殺戮的天使 | - | - | - |
| 2018 | ISLAND | - | - | - |
| 2019 | 五等分的新娘 | - | - | - |
| 2019 | 我們真的學不來 | - | - | - |
| 2019 | 約定的夢幻島 | - | - | - |
| 2022 | 吹響！上低音號 | 第2季第6集 | 因式分解 | - |
| 2015 | Charlotte | 第1集 | 中學代數 | 第1集中間出現的試卷中，含有二次函數的一部分圖示，但因試卷過於模糊，無法辨別上面的文字 |
A
《暗殺教室》
動畫第2季第12話中，赤羽業與淺野學秀所面對的數學壓軸題，是一道求體心立方體體積的題目。該題很明顯超出了作品設定中，初中數學的範圍。
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| 翻譯後的題干 |
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右圖中，邊長為$a$的正方體呈周期型排列，這種在正方體的各頂點及中心各有一個原子的晶體構造被稱為體心立方體。Na、K等鹼金屬多為這種結構。
在一個體心立方體中，以某一個原子$A_0$為中心，令空間內離$A_0$最近的所有點（此處「最近」意為與$A_0$的距離小於與任意其他原子的距離）組成的多面體為$D_0$，求$D_0$的體積。
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這道題背後的理論，來源於化學中的Wigner-seitz原胞體積（類似的晶體結構問題，也是化學中與數學聯繫最緊密的部分之一）。對於立方體型排列的原子，這是一個14面體的體積。
| 淺野學秀的思路（立方體切割） |
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淺野學秀的思路是，將中心的多面體視為一個立方體砍去周圍八個角，並計算每個角上砍去部分的體積。這種思路雖然可行，但由於周圍八個角本身也是很複雜的多面體，求體積的計算量較大，由於剩餘時間過短沒有解完這道題。 實際上，在網絡上，並未查閱到以這種思路解題的可能性。如果要使用切割的方式解決問題的話，更好的方式是將原多面體想象成、一個正八面體切除六個角上的正四面體後的結果。[1] |
| 赤羽業的思路（對稱性） | ||
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注意到每個原子$A$對應的空間$D$組成了全空間，而各個原子的地位又是相同的，即每個原子對應的空間的大小為單位體積內原子個數的倒數。在每個立方體中，有一個體心原子和八個頂點原子。但每個頂點原子分屬於八個立方體，所以每個頂點原子實際上只算$\frac{1}{8}$個。因而，在$a^{3}$的空間中有2個原子，每個原子的對應的空間大小為$\frac{a^{3}}{2}$。
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B
《笨蛋、測驗、召喚獸》
黑板上的數字
第一季第1集的10分鐘左右，坂本雄二與吉井明久發表演說時，背景中的黑板上寫滿了數字。仔細觀察可發現其為數學常數π的小數點後前230位。為什麼一群笨蛋的班裡會有人寫π的小數點後數字啊……
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劇中的數學試卷
第一季第1集的17至20分鐘，角色姬路瑞希和島田美波在參加補習測試時，劇中出現了兩人使用的數學試卷。其中包含因式分解、因式展開，二次方程的解的性質的問題。
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翻譯後的題目如下：
島田美波試卷第一題的8-11小問
| 題目 |
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展開下列算式： （8）$(2x-1)\left(4 x^{2}+2 x+1\right)$
（9）$(2 x+3 y)\left(4 x^{2}-6 x y+9 y^{2}\right)$
（10）$(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{6}+x^{3}+1\right)$
（11）$\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)$
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| 官方解答 |
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（8）$\begin{aligned}&(2x-1)\left(4 x^{2}+2 x+1\right)\\ &=(2 x)^{3}-13=8 x^{3}-1\end{aligned}$
（9）$\begin{aligned}&(2 x+3 y)\left(4 x^{2}-6 x y+9 y^{2}\right)\\ &=(2 x)^{3}+(3 y)^{3}=8 x^{3}+27 y^{3}\end{aligned}$
（10）$\begin{aligned}&(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{6}+x^{3}+1\right)\\ &=\left(x^{3}\right)^{3}-1=x^{4}-1\end{aligned}$
（11）$\begin{aligned}&\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)\\&=\left(x^{3}-y^{3}\right)\left(x^{3}+y^{3}\right)=x^{6}-y^{6}\end{aligned}$
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島田美波試卷第二題的1-4小問
| 題目 |
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簡化下列算式： （1）$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$
（2）$(\sqrt{6}+1)^{2}-2(\sqrt{6}+1)-3 $
（3）$\sqrt{27}+\sqrt{12}-\sqrt{48}$
（4）$\sqrt{(-3)^{2}}+\sqrt{(3-\pi)^{2}}$
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| 官方解答 |
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（1）$\begin{aligned}&(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}\\&=(3+2 \sqrt{6}+2)+(3-2 \sqrt{6}-2)=10\end{aligned}$
（2）$\begin{aligned}&(\sqrt{6}+1)^{2}-2(\sqrt{6}+1)-3 \\&=(6+2 \sqrt{6}+1)-2 \sqrt{6}-2-3=2 \end{aligned}$
（3）$\begin{aligned}&\sqrt{27}+\sqrt{12}-\sqrt{48}\\&=3 \sqrt{3}+2 \sqrt{3}-4 \sqrt{3}=\sqrt{3}\end{aligned}$
（4）$\begin{aligned}&\sqrt{(-3)^{2}}+\sqrt{(3-\pi)^{2}}\\&=-(-3)-(3-\pi)=\pi\end{aligned}$
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島田美波試卷第三題
| 題目 |
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（本題部分題干內容缺失，紅色字體部分為對缺失內容的補充） 令二次方程$x^2+kx+1=0$的解為$\alpha$和$\beta$，其中$k$為常數。求解以下問題：
（1）若$\alpha$和$\beta$均為實數，求$k$的範圍。
（2）眾所周知，如果$\alpha>0$，$\beta>0$，則可得$\alpha+\beta>0$和$\alpha\beta>0$。證明其逆命題：若$\alpha+\beta>0$和$\alpha\beta>0$，則$\alpha>0$，$\beta>0$。
（3）根據（2）中的結論，若$\alpha$和$\beta$均為正實數，求$k$的範圍。
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（1）根據二次方程解公式，可知我們需要$k^2-4\geq 0$，即$k\geq 2$或$k\leq -2$。
（2）若$\alpha\beta>0$，則它們必定同為正或同為負。因為$\alpha+\beta>0$，所以它們只可能是同為正。
（3）根據二次方程解的性質，可知$\alpha+\beta=-k$，$\alpha\beta=1$。因此我們需要滿足$k<0$。結合（1），所求範圍為$k\leq -2$。
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姬路瑞希試卷第一題
| 題目 |
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因式分解： （1）$a^{2} b+a b^{2}+a+b-a b-1$
（2）$(x+y)(y+z)(z+x)+x y z$
（3）$x\left(y^{2}-z^{2}\right)+y\left(z^{2}-x^{2}\right)+z\left(x^{2}-y^{2}\right)$
（4）$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z$
（5）$x^{4}-13 x^{2}+36$
（6）$\left(x^{2}+x-5\right)\left(x^{2}+x-7\right)+1$
（7）$(a+b+c+1)(a+1)+b c$
（8）$4 x^{2}-4 x y+y^{2}-6 x+3 y-10$
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| 解答 |
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(1)-(6)為官方解答，其中（2）中補全了右側缺失的部分；(7)-(8)為非官方解答。 （1）$\begin{aligned}&a^{2} b+a b^{2}+a+b-a b-1\\&=b a^{2}+\left(b^{2}-b+1\right) a+b-1\\&=(a b+1)(a+b-1) \end{aligned}$
（2）$\begin{aligned}&(x+y)(y+z)(z+x)+x y z\\&=(y+z) x^{2}+\left(y^{2}+3 y z+z^{2}\right) x+y z(y+z)\\&=(x+y+z)^2\end{aligned}$
（3）$\begin{aligned}&x\left(y^{2}-z^{2}\right)+y\left(z^{2}-x^{2}\right)+z\left(x^{2}-y^{2}\right)\\&=-(y-z)(x-y)(x-z)=(x-y)(y-z)(z-x)\end{aligned}$
（4）$\begin{aligned}&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z\\&=(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right)\end{aligned}$
（5）$\begin{aligned}&x^{4}-13 x^{2}+36\\&=(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)\end{aligned}$
（6）$\begin{aligned}&\left(x^{2}+x-5\right)\left(x^{2}+x-7\right)+1\\&=\left(x^{2}+x-6\right)^{2}=(x+3)^{2}(x-2)^{2}\end{aligned}$
（7）$\begin{aligned}&(a+b+c+1)(a+1)+b c\\&=(a+1)^{2}+(b+c)(a+1)+bc\\&=(a+1+b)(a+1+c)\end{aligned}$
（8）$\begin{aligned}&4 x^{2}-4 x y+y^{2}-6 x+3 y-10\\&=(2x-y)^{2}-3(2x-y)-10\\&=(2x-y-5)(2x-y+2)\end{aligned}$
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《別當歐尼醬了！》
動畫第7集4分18秒，緒山真尋在學校考試時發下的數學試卷。其中涉及到追及問題和反比例函數與幾何的問題。
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翻譯後的題目如下：
試卷第7題
| 題目 |
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哥哥從$1500\mathrm m$外的書店回家，妹妹在哥哥出發$7$分鐘後沿相同道路追趕哥哥。哥哥和妹妹分別以每分鐘$60\mathrm m$、每分鐘$80\mathrm m$的速度前進。妹妹在出發後$x$分鐘追上了哥哥。解答下列問題：
(1) 用含有$x$的式子表示妹妹追上哥哥前走過的路程。
(2) 列出方程並求出妹妹出發後多久追上哥哥。
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試卷第8題
| 題目 |
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如右图所示，在平面直角坐标系$xOy$中，反比例函数$y=\cfrac{24}{x}$的图象上有一点$B$，与$y$轴上的点$A$和$x$轴上的点$C$以及原点$O$围成一矩形$OABC$。该坐标系单位长度为$1\mathrm{cm}$。解答下列问题：
(1) 求矩形$OABC$的面積。
(2) 若點$C$坐標為$(6,0)$，求點$A$坐標。
(3) 若$OA$的長度為$3\mathrm{cm}$，求$OC$的長度。
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| 因為小尋子認為試卷太簡單結果睡着了導致答案空缺，以下給出非官方解答 |
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第7題 $(1)80x.$
$(2)$由题意,得$60x+60·7=80x$,解得$x=21$.
第8題 $(1)$设点$B(b,\frac{24}{b})$,则$OA=\frac{24}{b}(\mathrm{cm})$,$OC=b(\mathrm{cm})$.所以$S_{矩形OABC}=b\times\frac{24}{b}=24(\mathrm{cm^2})$.
$(2)$令$x=6$,则$y=\frac{24}{6}=4$,即$A(0,4)$.
$(3)$令$y=3$,得$3=\frac{24}{x}$,解得$x=8$,即$OC=8\mathrm{cm}$.
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D
《DARLING in the FRANXX》
動畫第13集開頭，課堂黑板上出現了大量圖形與數字。大部分內容疑似為智商測試題，但其中也夾雜着一些難度不一的數學公式，可辨認的要素包含如下：
- 中間黑板：左下角的楊輝/帕斯卡三角，右側的三角函數的周期性。
- 下方黑板：整塊黑板記錄了大量斐波那契數列的性質、以及斐波那契螺旋的圖片。
此外，最上側黑板的左側、以及與下方黑板的左上角，還記錄了一些物理學中，圓周運動以及勻加速運動相關的計算公式。
記載的數學內容一般理解為高中內容。雖然番劇中上課學生從外表上看類似初中生，但因為番劇的科幻元素，無法確定學生的生理/心理年齡，因此也無法考證難度是否合理。
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E
F
G
H
《歡迎來到實力至上主義的教室》
動畫第2季第9集16分17秒，
此處僅給出第2、3題的翻譯：
第2題
| 題目 |
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將字母$\mathrm{a, a, b, c, d}$橫向排成一行。
(1) 一共有多少種排列方式？
(2) 出現字母組合「$\mathrm{ab}$」的排列方式有多少種？
(3) 字母$\mathrm{a}$和$\mathrm{b}$相鄰的排列方式有多少種？
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第3題
| 題目 |
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算出所有滿足方程$\sqrt{4a^2 - 4a + 1} + | a + 4 | = a + 7$的$a$的值。
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《黃金拼圖 Thank you!!》
劇場版動畫的58分54秒處，出現了主角團參加高考時，豬熊陽子遇到的一道平面幾何試題。動畫中僅能看到第一個小問的題干。本題為標準的平面幾何問題，符合日本高中會考的難度。
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| 翻譯後的題干 | |||
|---|---|---|---|
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由於題目不全，依題意在GeoGebra中畫出圖形。
題目：如圖。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90\degree$，AC=3，AB=5。點O是$\triangle ABC$的內心。連結AO並延長，交BC於點L。$\triangle ABC$的一條外角平分線交BC延長線於點M。求LM的長。
註：本題實際為填空題而非解答題。被蓋住的下文中，有要求考生補全角平分線定理的提示，以引導考生得出答案。接下來的解答中，會給出定理內容和證明 |
| 基於題目下方提示，還原出的解答 | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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本方法基於內角平分線定理與相似三角形的性質。 角平分線定理非書本內容，以下給出詳細說明。
根據勾股定理，可知AC2+BC2=AB2，因此BC=4。
根據內角平分線原理，可知ABBL=ACCL，即BL:CL=5:3，因此BL=2.5，CL=1.5。
根據外角平分線性質，可知$\angle LAM=90\degree$，因$\angle C=90\degree$，可知$\triangle LAC\sim \triangle CAM$。
根據相似三角形性質，可知$\frac{LC}{AC}=\frac{AC}{CM}$，即$CM=\frac{3\times 3}{1.5}=6$，因此$LM=LC+CM=1.5+6=7.5$。
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| 另一種解法 |
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本方法僅使用三角形的全等與面積公式，無需任何相似三角形知識。 根據勾股定理，可知$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，因此$BC=4$。
從$点L和点M$向射線$BA$作垂線，分別與$BA$交於$点D和点F$。
由角平分線的性質，可知$\triangle ACL\cong \triangle ADL$，以及$\triangle ACM\cong \triangle AFM$。令$DL=CL=x，MC=MF=y$。
在$\triangle ABC$中，由面積等式$\frac{AB\times DL}{2}+\frac{AC\times CL}{2} =S_{\triangle ABL}+S_{\triangle ACL}=S_{\triangle ABC}=\frac{AC\times BC}{2} $，因此$\frac{5x}{2} + \frac{3x}{2} =\frac{3\times 4}{2} $，解得$x=1.5$。
在$\triangle BFM$中，由面積等式$\frac{AC\times B}{2}+\frac{AF\times FM}{2}=S_{\triangle ABM}+S_{\triangle AFM}=S_{\triangle BFM}=\frac{BF\times MF}{2}$，因此$\frac{4+3}{2}y+\frac{3}{2}y=\frac{5+3}{2}y$，可得$y=6$。
由上可知，$LM=CL+CM=x+y=1.5+6=7.5$。
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J
《寄生獸》
動畫第三集14分鐘左右，教師田村玲子在黑板上寫下了兩個對數函數相關的數學題。而在下一個場景中，立川裕子所持的數學教科書中也出現了對應的「對數函數」章節。
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《寄宿學校的朱麗葉》
第三集
動畫第三集13分鐘左右，夏爾特琉·威斯提亞在上課時在黑板上推導了大段數學公式，如下圖所示：
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黑板上推導的大量多項式，雖然較為模糊，但根據其極具辨認性的公式形態（根號、三次根號、多項式係數等），可確定其為一元四次方程$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$的求根公式。不過一般數學學生們，是不會將整個公式全部寫成一大團的，而會將其進行一定的拆分。
不論公式正確與否，一個高中生會完整地推導一元四次方程公式，貌似有點離譜……
| 給數學系強迫症欣賞的一元四次方程公式 |
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一元四次方程的一般解公式為 $$x_{1,2}=-\frac{b}{4 a}-S \pm \frac{1}{2} \sqrt{-4 S^{2}-2 p+\frac{q}{S}} $$
$$x_{3,4}=-\frac{b}{4 a}+S \pm \frac{1}{2} \sqrt{-4 S^{2}-2 p-\frac{q}{S}}$$
其中$p$與$q$遵從以下定義：
$$p=\frac{8 a c-3 b^{2}}{8 a^{2}}, q=\frac{b^{3}-4 a b c+8 a^{2} d}{8 a^{3}}$$
而$S$與$Q$的值依賴於判別式：
$$S=\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{2}{3} p+\frac{1}{3 a}\left(Q+\frac{\Delta_{0}}{Q}\right)}$$
$$Q=\sqrt[3]{\frac{\Delta_{1}+\sqrt{\Delta_{1}^{2}-4 \Delta_{0}^{3}}}{2}}$$
判別式的定義為：
$$\Delta_{0} =c^{2}-3 b d+12 a e$$
$$\Delta_{1} =2 c^{3}-9 b c d+27 b^{2} e+27 a d^{2}-72 a c e$$
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第四集
動畫第四集5分鐘左右，黑犬寮進行考試合訓時，狛井蓮季在白板上寫下了數學模擬卷的部分答案，均為因式分解題型。
動畫第四集10分鐘左右，狛井蓮季的幼時回憶中，出現了犬塚露壬雄在其輔導後，考到90分的數學考卷。其中題型為兩位數加減法，符合該回憶中兩人均為小學生的設定。
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K
L
《蘭斯系列》
以下內容含有劇透成分，可能影響觀賞作品興趣，請酌情閱讀
在《蘭斯10 決戰》第二部中，主角團（魔王之子）一行人被迫進入迷宮中的裸體結界。女生蘇茜諾·甘地在看到男生贊斯·利薩斯的裸體時嚇了一跳，小聲念叨魔法公式以使自己忘掉，而這個魔法公式實際上是一元二次方程求根公式。
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《理科生墜入情網，故嘗試證明。》
以下內容含有劇透成分，可能影響觀賞作品興趣，請酌情閱讀
本作中除數學問題外，也出現了大量理論計算機相關的問題。雖然嚴格意義上計算機科學相關問題並不在本條目的收錄範圍中，但鑑於其與組合數學等領域的關聯，在此予以保留。
第一集
多項式時間規約
在第一集開頭2分鐘左右，冰室菖蒲和雪村心夜的交流中，提到了雪村心夜正在撰寫關於多項式時間規約的論文。雪村心夜說自己在解法中使用了哈密頓問題，之後被冰室菖蒲吐槽到「借用了理查德·卡爾普的證明」。
多項式時間規約（Polynomial Time Reduction）是理論計算機中常見的方法，用於證明兩個問題的計算複雜度相同。理查德·卡爾普是美國著名的理論計算機科學家，他在1972年發布的論文「Reducibility Among Combinatorial Problems」，證明了21個理論計算機問題之間可以進行多項式時間規約（亦即它們的計算複雜度相同，均為NP-Complete），而哈密頓問題為這21個問題之一，因此冰室菖蒲提到的證明確實存在。至於雪村心夜的論文究竟是將哪個問題規約成了哈密頓問題，動畫中並未提及。
圖靈機
在第一集開頭7分鐘左右，雪村心夜在研究是否可以構造一個圖靈機（Turing Machine），在輸入一些觀察條件的基礎下，來判斷「A是否喜歡B」。
圖靈機是理論計算機的常見計算模型，它可以用來模擬所有可以用電腦計算的算法。因此雪村心夜提出的問題，雖然聽上去很高級，但本質即為是否可以用一個確定的算法來判斷「A是否喜歡B」。至於這個問題是否有意義就是另一件事了……
歸無假設
第一集14分鐘開始，在本集的理科熊科普時間中，介紹了歸無假設（Null Hypothesis）這一統計概念，下列內容直接使用了原視頻中的解釋。
歸無假設是指統計學中，「把想要證明的事物回歸於無」的假設。簡單來說，如果我們建立一個假設，然後發現在現有的數據下，其發生概率很低（小於5%），我們就可以認為該假設是錯誤的（即駁斥該假設）。通過這樣的方法，我們可以在統計上，嚴謹地排除一些猜想發生的可能性。
動畫中舉的例子為，假如我們想要證明「烏鴉是黑色的」。即使我們連續看到了100隻黑色的烏鴉，在統計上我們不能直接否定沒有其他顏色的烏鴉。但我們可以作以下的歸無假設：
- 歸無假設1: 「有50%的烏鴉是黑色的，另外50%的烏鴉是彩色的」，在這一假設下，連續看到了100隻黑色的烏鴉的概率為$$(50\%)^{100}\approx 7.88\times 10^{-31}$$
- 理科熊吐槽了這種概率比被隕石砸中一兆次還低。此時我們就可以駁斥這一假設。
- 歸無假設2: 「有90%的烏鴉是黑色的，另外10%的烏鴉是彩色的」，在這一假設下，連續看到了100隻黑色的烏鴉的概率為$$(90\%)^{100}\approx 0.00265\%$$
- 這個概率依然很低，因此我們還是可以駁斥這一假設。
- 歸無假設3: 「有97.1%的烏鴉是黑色的，另外2.9%的烏鴉是彩色的」，在這一假設下，連續看到了100隻黑色的烏鴉的概率為$$(97.1\%)^{100}\approx 5.27\%$$
- 這時概率超過了5%，只有在這類情況下，我們才會認為這一假設可能發生。
當然以上概率計算成立的前提條件是，我們想要研究的事件是互相獨立的。同集中冰室菖蒲和雪村心夜將理論運用在連續壁咚的心率提升上，就是一個絕佳的反例：隨着壁咚次數的增加，後續壁咚引發的心率變化會逐漸變低，即這些事件並非互相獨立。
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斐波那契數與花瓣
本集16分鐘的過場動畫中，出現了冰室菖蒲坐在花園中的場景，其中的花瓣標記了數字5、8、13，它們均為斐波那契數。現實中，確實有許多花的常見花瓣數，為斐波那契數列中的數值（3、5、8、13、21、34、55），其背後的理由尚待人類考究。
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漢諾塔問題
本集19分鐘左右，奏言葉在講到自己選擇理科的故事中，提到自己高中時用遞歸的方法解決了漢諾塔問題，並計算出其所需步數為$2^n-1$。
漢諾塔問題是源於印度傳說的一個數學問題。問題敘述如下：有三根編號為$A、B、C$的杆，在$A$杆自上而下、由小到大按順序穿着$n$個圓盤。目標是把$A$杆上的圓盤，全部移到$C$杆上，在移動過程中需要確保三根杆上均為大盤在下，小盤在上，一次只能移動一個圓盤。求該過程的所需最少步數。
| 動畫中未給出的，漢諾塔問題的遞歸解法 |
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維恩圖
本集20分鐘左右，雪村心夜將不同人戀愛的條件分別抽象化成了集合，並畫出了對應的維恩圖，希望通過研究交集的形式來證明戀愛的基本條件。但由於不同人喜歡的條件可能並不相同，該交集大概率為空集……
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《莉茲與青鳥》
本電影中最完整的題目出現於結尾處傘木希美的大學入學考試書籍中。題目如下：
- 已知自然數$x, y$互質，求證$x+y$與$x \times y$互質。
| 傘木希美的證法 |
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| 其他證法 |
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因為$(x, y)=1$，所以$(x, x+y)=1$，所以$(x \times y, x+y)=1$。 |
雖然作為一道數學題，本題和其他題目相比非常基礎，但值得一提的是，質數是電影中一個頻繁出現的元素：據青學家研究，電影特寫中的物體個數均為質數，乃至希美和霙二人的腳步頻率也是由一開始的互質到最後的不互質[2]。此外，本電影開頭結尾出現的單詞 disjoint 也是數學術語，即「不相交」；據訪談，結尾處的色塊相交實際上指的是文氏圖。
M
《魔法少女小圓》
數學問題
第一集以及第十集輪迴中，曉美焰在白板上求解的幾道數學題，包括了中學代數與數論的題型。需要注意的是，番劇設定為初中生，而這些題目明顯超出了一般初中課本範圍。所以大概也只有輪迴過無數次的小焰知道怎麼做。
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| 題目 |
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（1）求不定方程$a^{3}+a^{2}-1=(a-1)b$的所有整數解$(a, b)$。
（2）已知$f(x)=\frac{4x+\sqrt{4x^{2}-1}}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x-1}}$，求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(60)$的值。
（3）已知$x, a, b$為整數，$a$除以14的餘數為6，$b$除以14的餘數為1，且$x^{2}-2ax+b=0$有整數解，求$x$除以14的餘數。
（4）已知$p$為素數，$n$為任意自然數，證明$(1+n)^{p}-n^{p}-1$能被$p$整除。
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官方解法及評註
以下解法摘自番劇中曉美焰的解法。
| 題（1）解法 |
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若$b\geq 1$，則可將右式移到左側，並因式分解可知$$\begin{aligned} &(a^{3}+a^{2}-1)-(a-1)b\\&=(a^{3}-1)+(a^{2}-1)+1-(a-1)b\\&=(a-1)(a^{2}+a+1)+(a-1)(a+1)+1-(a-1)b\\&=(a-1)(a^{2}+2a-b+2)+1=0\end{aligned}$$
因此$(a-1)(a^{2}+2a-b+2)=-1$，即$a-1=1$或$a-1=-1$。
情況1:若$a-1=1$，則$a=2$，代入$a^{2}+2a-b+2=-1$可知$b=11$
情況2:若$a-1=-1$，則$a=0$，代入$a^{2}+2a-b+2=1$可知$b=1$
因此所有解為$(a, b)=(0,1), (2, 11)$
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| 題（2）解法 |
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令$a_{n}=\sqrt{2n-1}$，則$$\begin{aligned} &a_{n+1}a_{n}=\sqrt{2n+1}\sqrt{2n-1}=\sqrt{4n^{2}-1}, \\&a_{n+1}^{2}+a_{n}^{2}=(\sqrt{2n+1})^{2}+(\sqrt{2n-1})^{2}=4n, \\&a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=(\sqrt{2n+1})^{2}-(\sqrt{2n-1})^{2}=2\end{aligned}$$
因此可知$$\begin{aligned}&f(n)=\frac{4n+\sqrt{4n^{2}-1}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}\\&=\frac{a_{n+1}^{2}+a_{n+1}a_{n}+a_{n}^{2}}{a_{n+1}+a_{n}}\\&=\frac{(a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}^{2}+a_{n+1}a_{n}+a_{n}^{2})}{(a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}+a_{n})}\end{aligned}$$
注意番劇中曉美焰寫的平方記號很小，因此$a_{n}^{2}$寫的很像$a_{n^{2}}$，但學習過數學的讀者應該能明白她的本意 （以上為番劇中顯示的答案部分，之後的證明未在番劇上顯示，下為參考思路） $$\begin{aligned}&f(n)=\frac{(a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}^{2}+a_{n+1}a_{n}+a_{n}^{2})}{(a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}+a_{n})}\\&=\frac{a_{n+1}^{3}-a_{n}^{3}}{a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}}\\&=\frac{1}{2}(a_{n+1}^{3}-a_{n}^{3})\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}&f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(60)\\&=\frac{1}{2}[(a_{2}^{3}-a_{1}^{3})+(a_{3}^{3}-a_{2}^{3})+\cdots+(a_{61}^{3}-a_{60}^{3})]\\&=\frac{1}{2}(a_{61}^{3}-a_{1}^{3})\\&=\frac{1}{2}((\sqrt{121})^{3}-(\sqrt{1})^{3})=665\end{aligned}$$
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| 題（3）解法 |
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令$x=14q+r, a=14s+6, b=14t+1$，則二次方程的左側可簡化為$$\begin{aligned}&x^{2}-2ax+b\\&=(14q+r)^{2}-2(14s+6)(14q+r)+(14t+1)\\&=14(14q^{2}+2qr-28qs-2rs-12q+t-r)+(r+1)^{2}=0\end{aligned}$$因此可知14整除$(r+1)^{2}$。因為$14=2\times 7$為兩個素數之積，可知14整除$r+1$，即$r$除以14的餘數為13。
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| 題（4）解法 |
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令$_mC_k$代表從m個物品中選擇k個的組合數（不同國家組合數的寫法不同，此記號為日本使用）。根據二項式定理可知$$\begin{aligned}&(1+n)^{m}\\&=_mC_0+_mC_1 n+\cdots+_mC_{m-1} n^{m-1}+_mC_{m} n^{m}\end{aligned}$$根據組合性質，可知$$\begin{aligned}&k_pC_k=k\frac{p!}{k!(p-k)!}\\&=p\frac{(p-1)!}{(k-1)!(p-k)!}=p _{p-1}C_{k-1}\end{aligned}$$因此對於$1\leq k\leq p-1$，$_pC_k$能被$p$整除
（下列內容被正在寫字的曉美焰擋住了，為非官方解答） 將上述內容代入本問題可知$$\begin{aligned}&(1+n)^{p}-n^{p}-1\\&=_pC_1 n+_pC_2 n^{2}+\cdots+_pC_{p-1} n^{p-1}\end{aligned}$$右式每一項都能被$p$整除，因此左式也能被$p$整除，證畢。
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N
O
《One Room》
本番中，教數學的題材出現在了兩個不同的故事中，注意兩個故事的主人公設定並不相同。前一個是教學妹的學霸，後一個是被大姐姐教的學渣。
花坂結衣篇
第1季第2集開頭，主人公教花坂結衣數學時，作業本上出現了數學題與解答過程。因內容較模糊，無法看出太多細節。不過可以確認的是，記載的數學內容為標準的高中內容，符合本番設定中花坂結衣參加高校入學測試的難度。
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| 根據圖片還原出的部分題目 |
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左上方題目本： （1）左側頁面疑似為一道解析幾何題（可辨認出含有原點O等坐標系要素），題目內容為求一個與p、q兩參數相關的三角形OPQ的面積，並在特定條件下求解該面積的最大值。然而在沒有圖片的情況下，無法看出具體P、Q兩點的構造方式。
（2）右側頁面為一道概率問題，內容大致意思為「令n次中發生k次，隨機變量$X=k$的概率p。請用n與k表示p，並求出p的最大值」。與之最相近的數學題可能為「投擲n次硬幣，求k次向上概率，並尋找該概率的最大值」，但在沒有看明白全題之前也無法判斷原題。
右下方作業本： （3）作業本上的內容大致為一道代數大題：「求解含有變量a的三次函數f(x)在某定義域上的最大值M(a)，並對a的不同情況進行討論」（可隱約看到解法和圖形中，有標記與計算導數為零的點和定義域兩側端點的值，因而推斷題型為此）。
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織崎紗耶篇
第3集第8集中，織崎紗耶幫助主人公複習數學時，亦出現了寫滿數學解答的作業本。雖然題干並沒有在番劇中給出，但可以推斷出是一道幾何與三角函數結合的大題，符合日本高中難度。
- 作業本中的綠色批註，大概率是織崎紗耶為主人公標出的關鍵概念/步驟。
- 劇中織崎紗耶對主人公的評價是「思路大致是正確的，但是容易粗心寫錯答案」，但在作業本中，除了一道題的中間步驟存在小錯誤以外，並未有寫錯答案的情況。
可猜測作業本中的內容，並非主人公真正答題時的內容，而是織崎紗耶教導後，主人公重做後的解答。
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| 根據解答，還原出的題干 |
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在作業本左側圖片所示的平面直角坐標系中，各坐標點滿足條件$OA=OB=1$，$\angle OBP=\angle BAQ=x$。
（1）證明：$\triangle PRA\sim\triangle PAB$。
（2）求$AP$的長度，用$x$進行表示。
（3）求$\triangle ABR$的最大面積。
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下列解答基於作業本上的做法，為保證證明通順，有一定修正。紅色內容在作業本上被遮擋，為非官方解答。
| 第一問解答 |
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由於$\angle APR=\angle APB$（同一個角），且$\angle RAP=\angle ABP=45\degree - x$，因此$\triangle PRA$和$\triangle PAB$的三個角均相等，因此它們相似。
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| 第二問解答 |
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根據第一問的結論，以及相似三角形的性質，可知$AR:AB=PA:PB$
$$\begin{aligned}AR&=\frac{AB\cdot PA}{PB}\\&=\frac{AB\cdot(OA-OP)}{PB}\\&=\frac{\sqrt{2}(1-\tan x)}{1/\cos x}\\&=\sqrt{2}(1-\tan x)\cos x\end{aligned}$$
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| 第三問解法1（不使用第二問結論） |
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將$\triangle ABR$沿着邊$AB$對稱翻轉，令$R$的對稱點為$R'$。
則$R'$必定在以$O$為圓心，半徑為1的圓弧上。（作業本上畫的圓弧，本質便是使用了這個特性。對於為何這點在圓弧上，不確定的讀者，可以計算一下對應的圓周角。）
現在，考慮三角形$\triangle OAR'$與$\triangle OBR'$在底邊$\triangle OR'$上的高度總和。由於$OR'$和$AB$的夾角為$2x+\frac{\pi}{4}$，因此總高度為$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$
因此，三角形的ABR的面積為$$\begin{aligned}&\triangle OBR'+\triangle OAR'-\triangle OAB\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2}\end{aligned}$$
由於$0\leq x\leq \frac{\pi}{4}$，根據$\sin$函數的性質，最大值在$x=\frac{\pi}{8}$取到，為$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$。
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| 第三問解法2（使用第二問結論） |
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根據第二問中求得的$AR$長度，由三角形的面積公式、以及三角函數的二倍角公式，可知$$\begin{aligned}\triangle ABR &=\frac{1}{2}AB\cdot AR\cdot \sin\angle BAR\\&=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}(1-\tan x)\cos x\cdot \sin x\\&=\sin x\cos x-\sin^{2} x\\&=\frac{1}{2}\sin (2x)+\frac{1}{2}\cos(2x)-\frac{1}{2}\end{aligned}$$
我們可以進一步對上面的式子，使用餘弦和角公式可得$$\begin{aligned}&\frac{1}{2}\sin (2x)+\frac{1}{2}\cos(2x)-\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin (2x)+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x)\right)-\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin(\frac{\pi}{4})\sin (2x)+\cos(\frac{\pi}{4})\cos(2x)\right)-\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2}\end{aligned}$$
（上面式子第二行的首項$\frac{\sqrt{2}}{2}$，在動畫原圖中誤寫成了$\frac{1}{2}$，織崎紗耶後續的在筆記本上指出錯誤的劇情，大概率也是針對這一點。）
由於$0\leq x\leq \frac{\pi}{4}$，根據$\cos$函數的性質，上述面積的最大值於$x=\frac{\pi}{8}$取到，為$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$。
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P
Q
《輕音少女》
在第1季第3集，輕音部一行來到平澤唯家中幫助平澤唯補習功課時，秋山澪曾給平澤唯講解了一道因式分解的題目：
$x^2-xy-6y^2+2x-y+1$
不過，由於平澤唯很快就被講解聲所催眠了，本劇並沒有將秋山澪的解法解釋完畢。
| 非官方解法 |
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$$\begin{aligned}原式&=(x^2+2x+1)-y(x+1)-6y^2\\&=(x+1)^2-y(x+1)-6y^2.\end{aligned}$$
令$z=x+1,$
則原式$=z^2-yz-6y^2.$
使用十字相乘法可得 $$\begin{aligned}原式&=(z-3y)(z+2y)\\&=(x-3y+1)(x+2y+1).\end{aligned}$$
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R
S
《Slow Start》
第六集中萬年大會幫助幾位主角輔導功課時，使用了一本微積分課本。萬年大會作為高中畢業學生，學過微積分並無不妥。但主角團作為一般高中生，高一剛入校就上微積分，似乎有些超前。建議請數學老師出來解釋一下。
- 課本左側頁面包含多道求切線和法線的問題，以及參數方程求導的問題。
- 課本右側頁面則包含下列三角函數的經典積分遞歸公式（但三個公式中有兩個寫錯了）。
| 正確的積分遞歸公式及說明 |
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$$（1）\int\limits \sin^{n}xdx=-\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}xdx$$ $$（2）\int\limits \cos^{n}xdx=\frac{1}{n}\cos^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}xdx$$ $$（3）\int\limits \tan^{n}xdx=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2}xdx$$
番劇中公式（1）的左側錯寫成了$\int\limits \sin^{2}xdx$，右側的第一項遺漏了負號；公式（3）的右側第一項分數被錯寫成了$\frac{1}{n}$。
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T
U
V
W
X
Y
《一周的朋友。》
第一集
在動畫第一集的20:45左右，女主藤宮香織課桌上的數學書中，可發現一些三角函數例題和習題。
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| 上方三小題 |
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求下列三個三角函數的值。 (1) $\sin 30\degree$
(2) $\cos 105\degree$
(3) $\tan 75\degree$
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| 非官方解答 |
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三角函數基礎題，直接計算或使用和角公式即可解決。 (1) $$\sin 30\degree=\frac{1}{2}.$$
(2) $$\begin{aligned}\cos 105\degree&=\cos (45\degree + 60\degree)=\cos 45\degree \cos 60\degree-\sin 45\degree \sin 60\degree\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.\end{aligned}$$
(3) $$\begin{aligned}\tan 75\degree&=\tan (30\degree +45\degree)=\frac{\tan 30\degree+\tan 45\degree}{1-\tan 30\degree \tan 45\degree}\\
&=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}\times 1}=\sqrt{3}+2.\end{aligned}$$
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| 中間例題和課本的解答 |
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題目: 證明 $$\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2 \alpha-\sin^2 \beta.$$
證明: $$\begin{aligned}左边 &=(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) \\
&=\sin^2\alpha \cos^2\beta-\cos^2\alpha \sin^2\beta \\
&=\sin^2\alpha(1-\sin^2\beta)-(1-\sin^2\alpha)\sin^2\beta \\
&=\sin^2\alpha-\sin^2\alpha \sin^2\beta-\sin^2\beta+\sin^2\alpha \sin^2\beta \\
&=\sin^2\alpha-\sin^2\beta=右边.
\end{aligned}$$
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| 下方習題 |
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證明: $$\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2 \alpha-\cos^2 \beta=\cos^2 \beta-\cos^2 \alpha.$$
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| 非官方解答 |
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證明:先證左邊與中間相等 $$\begin{aligned}左边&=(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \\
&=\cos^2\alpha \cos^2\beta-\sin^2\alpha \sin^2\beta \\
&=\cos^2\alpha(1-\cos^2\beta)-(1-\cos^2\alpha)\sin^2\beta \\
&=\cos^2\alpha-\cos^2\alpha \cos^2\beta-\sin^2\beta+\cos^2\alpha \sin^2\beta \\
&=\cos^2\alpha-\sin^2\beta=中间.
\end{aligned}$$
證完左邊和中間相等,不難證明左邊和右邊相等,方法相同. $$\begin{aligned}左边&=(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \\
&=\cos^2\alpha \cos^2\beta-\sin^2\alpha \sin^2\beta \\
&=(1-\sin^2\alpha)\cos^2\beta-\sin^2\alpha(1-\cos^2\beta) \\
&=\cos^2\beta-\sin^2\alpha \cos^2\beta -\sin^2\alpha+\sin^2\alpha \cos^2\beta \\
&=\cos^2\beta-\sin^2\alpha=右边.
\end{aligned}$$
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第三集
第三集18:49左右，黑板上出現了一道三角函數求值題。
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| 題目 |
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当$\tan \theta=\frac{1}{2}$时，试求$$P=\frac{18 \sin \theta \cos \theta - 9 \cos \theta}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta - \cos^2 \theta}$$的值.
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| 藤宮香織的解答 |
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$$\begin{aligned}P&= \frac{9 ( 2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta )}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta - \cos^2 \theta}\\
&= \frac{9 \cos \theta ( 2 \sin \theta - 1 )}{\sin^2 \theta - \sin \theta + \sin^2 \theta}\\\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}&= \frac{9 \cos \theta ( 2 \sin \theta - 1 )}{1 - \cos^2 \theta - \sin \theta + \sin^2 \theta}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&= \frac{9 \cos \theta ( 2 \sin \theta - 1 )}{\sin \theta ( 2 \sin \theta - 1 )}\\ &= 9 \times \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\\ &= 9 \times \frac{1}{\tan \theta}.\end{aligned}$$将$\tan \theta = \frac{1}{2}$代入,得$P = 9 \times \frac{1}{\frac{1}{2}} = 18$.
紅色部分疑似解答重複。 順帶一提，18對男女主有着特殊含義。如果愛情有質量，那一定是18g！ |
Z
特殊作品名
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參考資料
外部鏈接
數學相關番劇盤點向視頻1：https://www.bilibili.com/video/av89059513
數學相關番劇盤點向視頻2：https://www.bilibili.com/video/BV1SE411j7kP
外網上對數學相關番劇的盤點（日文）：https://www.anikore.jp/tag/%E6%95%B0%E5%AD%A6/