曲速引擎
聯邦星艦進取號進入曲速 | |
基本資料 | |
神器名稱 | 曲速引擎(Warp Drive/Warp Engine) |
---|---|
神器別名 | 曲速驅動器/驅動裝置、折躍、時空翹曲、超光速推進等 |
神器種類 | 超光速(FTL)推進技術 |
神器主人 | 聯邦星艦企業號等 |
登場作品 | 《星際迷航》系列等 |
曲速引擎(Warp Drive/Warp Engine)或阿庫別瑞推進器(Alcubierre Drive)是一種目前尚處於理論探索階段的光速或超光速航行手段,最初由約翰 W·坎貝爾(John W. Campbell)在其1931年創作的科幻小說《太空島》(Island of Space)中提出,隨後在1966年由著名科幻作品《星際迷航》系列進一步發展,並由此廣為人知。
在1994年,墨西哥物理學家和數學家米基爾·阿庫別瑞(Miguel Alcubierre)看過ST後突發奇想嘗試並成功在現實中建立了曲速引擎的數學模型及理論[1],使其成為極其罕見的被證實在現實中存在理論可行性的科幻超光速航行手段,可以說是硬科幻與現實科學互相影響的最為成功範例之一。
原理
在現實的曲速引擎或者說阿庫別瑞推進器的理論描述中,曲速引擎通過扭曲飛船前後的時空連續體來推進飛船。一艘進入曲速的飛船將壓縮飛船前的時空連續體,並擴展飛船後方的時空連續體,這樣便創造出了一個時空波動(或者引力波動),並包裹在飛船所處在的一塊平直的正常空間周圍,被稱為「曲速泡」(Warp Bubble)。曲速泡及處在其內部的飛船可以在這個時空連續體波動的帶動下達到遠超光速的表觀速度,而不違反廣義相對論的光速最快定律——因為廣義相對論僅限制了物體和能量在時空連續體中的傳播速度不能超過光速,卻沒有限制時空連續體本身的運動速度,且的確已經有此類理論和觀測案例:宇宙大爆炸後的暴漲階段,宇宙的膨脹速度遠超光速,而如今由於暗能量導致的宇宙加速膨脹,可見宇宙的膨脹速度也有可能超過了光速。
阿庫別瑞通過構造這樣一個時空扭曲及描述其的度規(被稱為阿庫別瑞度規或阿庫別瑞張量)解出了廣義相對論方程,從而得到了曲速引擎的理論模型,並由此證明至少在廣義相對論的理論框架下,曲速引擎是在理論上可行的。
此外,阿庫別瑞的解還證明,以曲速航行的飛船,無論其曲速泡的速度和加速度多快、做什麼機動,由於時空的扭曲,其運動軌跡都將會始終沿著廣義相對論中的時空測地線,也就是說,始終等效於做自由落體運動。因此在曲速航行的過程中,無論星艦如何機動,都將不會受到任何慣性力作用,儘管有可能受到曲速泡時空扭曲的等效引力帶來的潮汐力影響。
但曲速引擎這一概念也面臨著很多問題。首先,阿庫別瑞僅僅通過解出曲速泡對應的廣義相對論方程證明了一個曲速泡是可以存在的,但並沒有提出產生和消除曲速泡,也就是進入和退出曲速的手段;其次,為了擴張飛船後方的時空,與具有正質量和能量的常規物質壓縮時空連續體(表現為引力)相反,在廣義相對論理論框架下,曲速引擎需要具有負能量或負質量的特殊物質才能起到擴張飛船後方時空的作用,這被稱為奇異物質(Exotic Matter)或奇異能量[2]。更為致命的是,要產生這種水平的時空扭曲,所需要的能量會大到難以想像。
儘管此後的物理學家不斷完善了這一理論,減少了奇異物質的需求量(甚至可能存在不需要奇異物質的模型),並通過對曲速泡進行修型等調整極大降低了能量的需求[3](現在最樂觀的理論中,已經「僅」需要噸級別的奇異物質,就能讓一艘100米長的飛船達到10倍甚至100倍光速),但仍有許多現實問題亟待解決。比如,阿庫別瑞的曲速引擎理論是基於廣義相對論框架的,因此並不知道在引入量子引力等框架後,曲速引擎的理論模型是否仍可兼容;此外,即便星艦能夠實現曲速航行,也還有更大的問題——星艦本身是在超光速航行了,可星艦上的傳感器和通訊設備卻還是只能以光速探測或發射信號——這就意味著曲速中的星艦既無法與外界通訊,也不能及時探測前方的情況,因為星艦的飛行速度會比自己發射出的探測或通訊信號還快。以光速10倍的速度兩眼一抹黑盲飛絕不是什麼好體驗。最後,即便星艦本身能夠安全順利地完成曲速航行,當其終於抵達目的地並退出曲速時,一路上將前方空間壓縮所積累的大量能量在瞬間釋放,會像衝擊波一般將星艦前方的所有物體在字面意義上抹去。
「所有創作超光速科幻的作者,無論他們的理論多麼合理多麼與現實理論相呼應,都沒辦法圓上的問題是,超光速所需的能級意味著星艦根本不需要什麼武器,對著敵艦直接一腳油門就再也沒有什麼敵艦了」但也不盡然,在星球大戰傳說宇宙中就有超空間動能武器,甚至在第八部電影中真的出現了開船用超空間創敵船……
此外,降低曲速泡形成和維持所需能量的修型是通過增加曲速泡「壁」的厚度,也就是延長空間扭曲的長度來實現的。這種設計的確能極大降低理論能耗,但也意味著曲速泡內留給星艦的平直時空尺度更小,而緊貼曲速泡壁的星艦艦體將可能因此受到曲速泡本身潮汐力的嚴重影響。更有甚者,有理論研究認為,當曲速引擎的曲速泡達到乃至超過光速之後,曲速泡前方的空間扭曲強度將增加到形成人造黑洞的程度,星艦本身會被自己引擎產生的人造黑洞所吞噬,或者被黑洞的霍金輻射燒毀。
總之,雖然目前曲速引擎的確存在理論上的可行性,但要成為現實,甚至哪怕只是形成一個足夠完善的理論模型,也還有非常長的路要走。
但現實也不是全是壞事——在《星際迷航》中,為了避免星艦在曲速航行中撞上物體損毀,星艦需要使用偏導儀在星艦前方投射低強度的人工引力場和引力波束來主動掃走星艦前方的障礙物,而現實中的曲速引擎理論則表明,星艦其實並不需要偏導儀——因為曲速泡所含有的能量過於強大,任何接觸到曲速泡的物體,哪怕是行星,都會在瞬間被撞個稀巴爛不是,這到底算是好事還是壞事?
作品中的出現
《星際迷航》系列
在《星際迷航》系列中,曲速引擎通過對虛構的一個時空連續體中的次級嵌套結構子空間(Subspace)進行操縱來實現對本時空連續體的控制,從而實現曲速航行。子空間技術也是《星際迷航》系列中大部分技術的基石,類似的技術被用於超光速通訊、計算與探測,護盾,偏導儀,牽引光束,力場技術,以及人造引力等。
兩種虛構元素Verterium和Cortenum被用於曲速引擎核心部分的建造。由Verterium矽酸鹽和單晶Cortenum可以製成Verterium cortenide合金,這種合金在通入高能等離子體之後,會像普通金屬材料通入電流時產生磁場那樣產生子空間場。這樣,通過曲速反應堆(Warp Reactor)或曲速核心(Warp Core)產生足夠濃度的載能等離子體,並將其通入設計成特定外形的Verterium cortenide合金製成的子空間場發生器(聯邦星艦使用與磁螺線管一樣製成線圈型的曲速線圈,專業術語稱為「引力場位移歧管(Gravimetric Field Displacement Manifold)」),便能產生子空間場。
不同文明的曲速引擎使用不同的曲速反應堆來產生子空間場發生器所需的載能等離子體,聯邦的曲速引擎,其反應堆核心使用由二鋰控制的氘和反氘的物質-反物質湮滅反應來產生等離子體,而羅慕倫的量子奇點核心則使用人造微型黑洞吸入物質後形成的軸向射流。通過調節等離子體在Verterium cortenide合金裝置內的流動方式、流量和濃度,便能控制子空間場的場強和場型,從而對時空連續體的扭曲進行對應的控制和調節,並最終實現曲速航行。
子空間場的場強單位為科克倫(Cochrane),以地球曲速引擎發明者澤弗里·科克倫命名。1科克倫的子空間場意味著其場強和能級已達到突破光障的條件,只要將其扭曲成曲速泡形狀便能進入曲速。低於光速的子空間場以毫科計算。但要作為曲速引擎使用,子空間場必須呈現與曲速泡相對應的不對稱(即前部壓縮後部擴張)蠕動流形,此時被稱為曲速場。而一個對稱穩定的子空間場,其作用將僅相當於相應能級的普通電磁場或引力場。[4]儘管如此,子空間場有著降低其內物體表觀質量的作用。這被用於星艦的亞光速航行,使星艦在常規亞光速航行及向曲速加速的過程中,消耗的能量更少,或者在進入行星引力場起降時降低星艦的重力,以避免星艦結構損壞或對行星引力場造成過於嚴重的異常影響。但不像質量效應,它不能將物體的表觀質量變成零。
在達到超光速之後,每單位科克倫場強將對應一倍光速的速度,換句話說,一艘以曲速8級(512倍光速)航行的星艦,其曲速場場強就是512科。隨著曲速場場強的增加,每科場強所對應的能量需求也將相應增加,這最終限制了曲速引擎可以達到的極限場強,也即極限航速。這被稱為尤金極限(Eugene's Limit)。
由於超光速下的曲速場處於不對稱蠕動狀態,其本質上是靜不穩定的這一點也已被現實理論證明,ST編劇又贏麻了,因此曲速引擎實際上是在以脈衝狀態工作,上一個曲速場脈衝產生後迅速消散的同時,下一個曲速場脈衝隨即產生,以維持星艦周圍的曲速泡。以聯邦星艦為例,在曲速引擎艙內設置的一系列等離子體噴注器會以由推進計算機計算並給定的脈衝頻率、脈寬和流量不斷向曲速線圈組噴注等離子體,脈衝頻率越高、脈寬越寬、流量越大,能級也就越高,曲速場的場強也就越高,星艦航速也就越快。顯然曲速場的脈衝頻率不可能快過普朗克常數的倒數,除去場強-能量曲線之外,這也是曲速引擎在性能上的最大理論限制。其他限制還包括等離子體噴注器的工作負荷、曲速線圈的疲勞壽命等。這些限制共同決定了曲速引擎技術的理論上限。
曲速引擎產生的曲速場初始外形,與曲速引擎艙及其內的線圈構型,以及飛船船體本身的外形都有著很大關係。曲速引擎產生的子空間場及其引發的時空連續體扭曲會以左右兩側曲速引擎艙的中線上某點(具體取決於設計需求,通常是曲速反應堆或艦體質心位置)為焦點產生,並擴散穿過整個船體,然後從船體外表面附著、滑動、分離並擴散,形成包繞星艦的曲速場。因此,星艦需要有一個恰當的流線型外形,以確保時空連續體在船體表面附著與滑動時受到的阻力最小。此外,恰當的船體外形還有助於讓多層曲速場在從船體向外擴散的過程中產生曲速所需的前部壓縮、後部擴張的不對稱性趨勢,從而更有效地維持曲速泡。這一切解釋了為什麼即便在沒有空氣的太空中,聯邦星艦仍然需要一個修長流暢且前傾的流線型外形。為了美學而強行圓上設定這同時也意味著星艦通常需要設計成有左右成對分布的曲速引擎艙以產生恰當的曲速場,儘管有一些艦船似乎並不遵循此規則。問就美工愛好吃書
在傳統曲速引擎設計從亞光速加速到光速的途中,由於星艦仍然部分地在常規空間內運動,因此相對論效應仍將發揮作用,星艦在加速到接近光速的過程中仍會遭遇時間膨脹效應和質量附加效應的影響。這使得傳統曲速引擎在亞光速下的效率極低。當星艦達到曲速1,也就是正好達到光速時,這也意味著理論上,星艦將需要與在常規空間中加速到光速所需要的相同的無窮大能量——這就是所謂的光障。
為了規避相對論效應,曲速引擎充分運用了量子理論來在實質上「避開」光速屏障。當星艦以曲速1航行時,實際上星艦並不會真正「精確」地處於光速,而是藉助曲速場的脈衝作用,以一個普朗克時間長度為頻率,在剛好稍高於和稍低於光速的狀態下來回波動,從而規避了宏觀物體不能恰好達到光速的限制。而當星艦需要加速到超過光速的速度時,則通過啟動加速時極高的能級直接依靠量子隧穿效應擊穿光障達到超光速,這樣也就繞開了光速限制。就像物質超過介質中光速運動時一樣,當星艦突破真空光速時,會產生切倫科夫輻射激波,也就是所謂的光爆閃光。
很多科幻作品都有類似的設定,雖然大概只是為了支撐炫酷的進入曲速特效。這與現實理論其實是相悖的。實際上,在曲速引擎啟動的那一刻,無論你之前處於何等狀態,你所處的空間都已經和你一起被包進曲速泡里,此時無論曲速泡怎麼動,相對論都已經管不著你了。
當需要退出曲速時,通常可以通過簡單地關閉等離子噴注器來使子空間場場強逐漸降低直至消散,構成曲速泡的時空扭曲攤平,星艦即回到正常空間。但這種過程很慢,往往需要數分鐘,因此在需要緊急制動的情況下,星艦往往會通過產生一個反向的曲速場來抵消本艦正處於的曲速場,從而使星艦迅速返回正常空間中,這被稱為曲速場差動法。但因為這種操作產生的潮汐力可能對星艦的結構產生過大載荷,因此在星艦存在嚴重結構損壞或結構完整性場系統出現故障的情況下往往會被安全協議禁用。類似的手段也可以用於調節曲速泡的指向,從而使星艦在曲速航行中轉向。
除了尤金極限等理論限制外,由於其他材料和能源等工程限制,一般認為聯邦傳統曲速引擎理論速度上限約在曲速9.99級(7,912倍光速)到曲速9.9999級(199,516倍光速)。因此除了標準的曲速引擎之外,還有其他基於曲速引擎或類似原理的超光速航行手段以達到更高的速度滿足劇情需要:
- 量子滑流(Quantum Slipstream)[5]:與曲速引擎相似,但不同的是僅在飛船前部產生空間扭曲,且將能量聚焦在偏導儀上,以利用偏導儀扭曲空間,並通過高能級能量擊穿量子壁壘實現宏觀量子隧穿效應,在時空連續體中產生一個連續不斷的子空間波動進行高速航行。
量子滑流引擎擁有遠高於常規曲速的航行速度[6]且能效更高,但由於量子力學的天生特性而非常不穩定,因此需要船載導航系統不斷探測量子場的狀態並迅速計算相位偏差後進行修正,才能確保穩定航行。若量子場的偏差不能及時修正,滑流將立即崩潰,並將星艦拋回正常空間,這種崩潰通常會導致全艦結構和系統的嚴重損壞。
量子滑流技術最早於2372年由聯邦星艦航海家號在德爾塔象限從與其相遇的種族116量子滑流飛船無畏號(NX-01-A USS Dauntless)上獲知,此後航海家號成功仿製該系統並裝在航海家號上進行試航,但引擎的不穩定險些導致航海家號墜毀,此後便不再使用。而在半官方遊戲《星際迷航在線》的設定中,在25世紀初,量子滑流引擎已經技術成熟,並與聯邦仿製的博格超曲速線圈一起被用於星艦的短時間緊急高速衝刺,而常規遠程巡航仍然使用傳統曲速引擎。
- 同軸曲速(Coaxial Warp)[7]:與曲速引擎基於相同的基本原理,但不是產生曲速泡進行超光速的點到點航行,而是通過扭曲子空間結構打開蟲洞來實現瞬間躍遷航行。
與常規蟲洞不同的是,同軸曲速引擎需要在躍遷前使用傳感器測量子空間結構並計算出摺疊空間打開蟲洞的最佳方式,因此其跳躍雖然是瞬間完成的,但本質上使用其進行航行會需要很長的預熱時間,且具體用時將取決於導航計算機的算力。
- 超曲速(Transwarp)[8]:最初為星際艦隊於2283年在精進號推進技術試驗艦(NX-2000 USS Excelsior)上測試的新型曲速引擎設計,其基於常規曲速方程的一種複雜變形來改進常規曲速引擎的性能,理論預計認為採用這種設計的星艦可達到遠超常規曲速引擎的性能。然而實踐證明理論有誤,精進號的曲速引擎性能相比常規曲速引擎並無多大提高。[9]
此後超曲速變為一個頗為寬泛的概念,任何基於常規曲速引擎設計或理論而性能優於傳統曲速引擎的超光速推進技術都可以被稱為「超曲速」所以下文中的所有技術都是超曲速。不過後來提到超曲速時,一般指的是博格人的超曲速技術。
博格人的超曲速技術在空間中開闢了一系列與量子滑流通道相近,但持續開放且穩定的子空間扭曲走廊,被稱為超曲速通道或超曲速導管(Transwarp Conduit)[10],通道兩端則通過專用的超曲速星門或樞紐進行維持。使用這種技術的飛船需要加裝與其配套的超曲速線圈,並通過發射超光速粒子或快子(Tachyon)[11]進入通道。一旦進入通道,星艦可以以與量子滑流相近乃至更快的高速迅速抵達通道彼端。超曲速線圈也可以單獨使用,像量子滑流那樣在空間中開闢一條臨時的超曲速導管,並將星艦加速到比常規曲速引擎速度更高的航速。超曲速線圈起動時,需要至少300兆牛(30萬千牛)的推力輸入。
超曲速通道本身是對子空間極度翹曲所形成的產物,其等效子空間場強高達至少2.9太科(2,900,000,000,000科克倫),而通道本身的尺度則不算太大,因此星艦進入其中航行時,會受到這種時空扭曲所帶來的強烈的潮汐力和時間拖拽效應的作用。為此,任何進入超曲速通道航行的飛船,不僅需要對結構完整性力場進行加強以抵抗潮汐力,同時也需要在全船投射一個時間粒子(Chroniton,星際迷航系列設定的架空時間粒子)形成的保護場以確保船上參照系免受其影響。
- 孤立子波(Soliton Wave)[12]:與曲速引擎產生一個包繞星艦的時空扭曲相反,這種技術通過對空間注入能量產生一個由孤立波(Solitary Wave)或孤立子(Soliton)[13]構成的空間扭曲,從而將在波內的星艦帶入與曲速相同的超光速航行狀態下。待航行到目的地之後,再使孤立波消散,從而讓星艦退出曲速。
在《星際迷航》中,孤立波技術在首次試驗時出現了不穩定和失控現象,因此最終未能投入實用,因為失控的孤立波有可能摧毀路徑上的一切編劇倒是知道用孤立波進行超光速航行會這樣,那為什麼不知道使用曲速引擎航行也是一樣的呢。但低能級的孤立波可以作為超光速通訊手段,相比通過子空間以曲速傳播無線電信號進行的常規超光速通訊技術,孤立波通訊的抗干擾能力更強,更適合在蟲洞或其他時空強烈扭曲的區域進行通訊。這已經在24世紀末開始試驗並取得了一定成功。
與曲速引擎相同,孤立子波也是一個不僅僅是科幻、在現實中也被證明存在理論可行性的超光速推進技術,已有相關論文對此開展研究[14]。但與現實中的曲速引擎一樣,目前的孤立子波曲速同樣需要數量驚人的能量才能運作
其他系列
(待補充)
注意:曲速引擎不是曲率引擎
由於《三體》系列的大獲成功,其中的許多實際上非常不嚴謹的技術設定也隨之廣為人知,尤其是宇宙中光速航行飛船所用的曲率驅動技術。由於曲率驅動與曲速引擎一樣是通過扭曲時空曲率實現推進,很多人經常將二者混為一談,甚至在《星際迷航》系列的作品評論區里也經常能看到有不明就裡的人提問這是不是曲率驅動的,導致了不少困惑甚至衝突。
實際上從細節描寫和技術設定中可以看出,曲率驅動並不是曲速引擎。與曲速引擎相比,曲率引擎並沒有一個完整的曲速泡或者曲速場將飛船包裹在其中,而只是簡單地通過降低後方時空的曲率或者說擴張後方時空,讓飛船在前方時空的張力作用下向前加速航行。在使用曲率引擎時,飛船本身仍然處在常規空間中,並會像使用常規手段加速到光速那樣受到時間膨脹效應和引力拖拽效應的影響。因此,曲率引擎只能達到光速,而不能像曲速引擎那樣超過光速。這也是大劉為了儘可能保持小說至少表面上的嚴謹性而做的設定,不然如果具備超光速航行能力,那麼《三體》就會一下子看起來像黃金時代的那些經典太空歌劇了……
此外,曲率驅動在工作時會產生航跡(考慮到曲率引擎需要擴張飛船後方的空間,可能是奇異物質的作用),而無論是什麼作品中設定的技術水平的曲速引擎,在正常航行的情況下,都不會產生航跡儘管《星際迷航》世界觀中的早期曲速引擎在航速高於曲速6時可能會產生或加劇子空間裂縫。
當然我們都知道,這個設定大概只是大劉為了情節需要而加上去的,實際操作中,不太可能在操縱時空曲率的時候產生這樣一種無法修復的副作用
由於時空曲率的本質就是引力,所以曲率驅動的本質實際上也呼之欲出了——曲率驅動的本質,實際上是一種反重力技術。這也可以解釋為什麼《三體》中的人類文明這麼快就能掌握曲率引擎的技術:在《三體2》的末尾,人類已經通過引力波天線掌握了反重力引擎的製造技術,因此在此基礎上發展出原理近似的曲率引擎也就不奇怪了。
|
|
注釋及外部連結
- ↑ [gr-qc/0009013v1] The warp drive: hyper-fast travel within general relativity [曲速引擎:廣義相對論框架下的超光速航行]. arXiv.org. 2000-09-05 (English).
米基爾·阿庫別瑞的最初論文,於2000年9月5日發表在《經典與量子引力》上 - ↑ 請注意,奇異物質並不是反物質,因此理論上並不會與正常物質發生劇烈反應
- ↑ Warp Drive: A New Approach [曲速引擎:一種新的方法] (PDF). arXiv.org. 2007-12-11 (English).
- ↑ 曲速航行理論——TNG手冊漢化5.1. 2021-01-21 –通過新浪微博.
《〈星際迷航:下一代〉技術手冊》第5章曲速推進系統第5.1節:曲速場理論及其應用 - ↑ Quantum Slipstream Drive. Memory Alpha (English).
- ↑ 在"Hope and Fear"中,無畏號的航行記錄中顯示本艦在三個月內航行了6萬光年,平均航速高達24萬倍光速,比曲速9.9999級的199,516倍還高出近四分之一
- ↑ Coaxial Warp Drive. Memory Alpha (English).
- ↑ Transwarp. Memory Alpha (English).
- ↑ USS Excelsior. Memory Alpha (English).
- ↑ Transwarp Conduit. Memory Alpha (English).
- ↑ 快子是一種假想的超光速粒子。一種基於相對論架構的假想認為,時空中的物質分為兩部分,一部分是組成我們可觀測宇宙的常規粒子或者「慢子」,另一部分則是運動速度天然超光速的快子。兩者的速度極限都是光速,兩者在達到光速時都需要無窮大的能量。這也是所謂「光障」的理論來源之一。但與慢子恰好相反的是,快子在能量為零時,速度為無窮大。即,快子能量越小,速度越快,越接近無窮大;能量越大,速度越慢,越接近光速。對《星球大戰》系列中超空間設定的一個解釋就是,當飛船啟動超空間引擎並加速越過光障之後,便進入了快子狀態,這也與超空間引擎級別越低速度越快的分級標準相對應。在《星際迷航》系列中,快子除了用於曲速和超曲速航行之外,還被用於超光速掃描和通訊;此外,快子最重要的用途是,傳送、隱身和護盾場都會產生快子輻射,因此可以通過探測快子輻射來探測到這些設備的存在和運作狀態。
- ↑ Soliton Wave. Memory Alpha (English).
- ↑ 孤立波是一種特殊的波形,它只有一個單波,但波速恆定、波形穩定,在傳導過程中不會發生變化,直至自然緩慢消散。即便兩個孤立波碰撞,二者也互不干擾,並會在碰撞後各自繼續前進。由於孤立波及其波動方程具有如上所述的特性,一般認為這些特性更像是一個粒子,因此大多數時候會根據波粒二象性,將孤立波稱為孤立子所以如果你喜歡找樂子,可以把構成曲速泡所需的時空扭曲/波動稱為極性引力子——《星際迷航》確實是這麼稱呼的
- ↑ [1005.5682] Emitting solitonized laser beams to boost the negative energy density of squeezed regions of the vacuum [發射孤立化雷射束增加壓縮真空區域的負能量密度]. arXiv.org. 2010-05-31 (English).